6 Möglichkeiten zur Volumenberechnung

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6 Möglichkeiten zur Volumenberechnung
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Video: Einheitsvektor, Vektorgeometrie, Vektor mit der Länge 1 | Mathe by Daniel Jung 2024, März
Anonim

Das Volumen einer Form repräsentiert den dreidimensionalen Raum, den sie einnimmt. Sie können sich das Volumen eines Objekts auch als die Menge an Wasser (oder Luft, Sand usw.) vorstellen, die hineinpassen würde, um es vollständig zu füllen. Die gebräuchlichsten Volumeneinheiten sind Kubikzentimeter (cm3), Kubikmeter (m3), Kubikzoll (Zoll)3) und Kubikfuß (ft3). In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie das Volumen von sechs verschiedenen dreidimensionalen Formen berechnen, die häufig in Mathematiktests vorkommen, einschließlich Würfel, Kugeln und Kegel. Sie werden feststellen, dass viele dieser Formeln ähnlich sind, was es noch einfacher macht, sie sich zu merken. Versuchen Sie, sie während des gesamten Artikels auswendig zu lernen!

Schritte

Methode 1 von 6: Berechnung des Volumens eines Würfels

Volumen berechnen Schritt 1
Volumen berechnen Schritt 1

Schritt 1. Erkenne einen Würfel

Ein Würfel ist eine dreidimensionale Form mit sechs identischen quadratischen Flächen. Mit anderen Worten, es ist eine Schachtel, deren Seiten alle gleich sind.

Ein sechsseitiger Würfel ist ein gutes Beispiel für einen Würfel, ebenso wie Zuckerwürfel und Kinderbuchstabenblöcke

Volumen berechnen Schritt 2
Volumen berechnen Schritt 2

Schritt 2. Lernen Sie die Formel zum Bestimmen des Volumens eines Würfels

Da alle Seiten gleich sind, ist die Formel für das Volumen eines Würfels recht einfach: V = s3, wobei V das Volumen und s die Länge einer der Kanten des Würfels ist.

um s zu finden3, multiplizieren Sie das Maß einfach dreimal mit sich selbst: s3 = s * s * s

Volumen berechnen Schritt 3
Volumen berechnen Schritt 3

Schritt 3. Finden Sie die Länge einer Seite des Würfels

Abhängig von Ihrer Aufgabe wird der Würfel entweder mit dem Maß auf einer Seite geliefert oder Sie müssen es selbst messen. Denken Sie daran, dass die Maße auf allen Seiten gleich sind, da es sich um einen Würfel handelt. Es spielt also keine Rolle, welche Sie messen.

Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob die Form ein Würfel ist, messen Sie alle Seiten, um zu sehen, ob sie gleich sind. Wenn nicht, müssen Sie die Methode verwenden, um das Volumen eines rechteckigen Prismas zu berechnen

Volumen berechnen Schritt 4
Volumen berechnen Schritt 4

Schritt 4. Ersetzen Sie das Seitenmaß in die Formel V = s3 und berechne das Volumen.

Wenn die Seitenlänge beispielsweise 5 cm beträgt, schreiben Sie die Formel wie folgt: V = (5 cm)3 = 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm3. Also 125 cm²3 ist das Volumen des Würfels!

Volumen berechnen Schritt 5
Volumen berechnen Schritt 5

Schritt 5. Notieren Sie die Antwort in Kubikeinheiten

Im obigen Beispiel wurde die Länge der Würfelseite in Zentimetern angegeben, also sollte das Volumen in Kubikzentimetern angegeben werden. Wenn die Seite des Würfels beispielsweise 3 m wäre, wäre das Volumen (3 m)3, oder V = 27 m3.

Methode 2 von 6: Berechnung des Volumens eines rechteckigen Prismas

Volumen berechnen Schritt 6
Volumen berechnen Schritt 6

Schritt 1. Erkennen Sie ein rechteckiges Prisma

Ein rechteckiges Prisma ist eine dreidimensionale Form mit sechs Seiten, die alle Rechtecke sind. Mit anderen Worten, es ist einfach ein dreidimensionales Rechteck oder ein gewöhnlicher Kasten.

Ein Würfel ist nur ein rechteckiges Prisma, dessen Seiten aller Rechtecke gleich sind

Volumen berechnen Schritt 7
Volumen berechnen Schritt 7

Schritt 2. Lernen Sie die Formel zum Bestimmen des Volumens eines rechteckigen Prismas

Die Formel lautet V = c * l * a, wobei V = Volumen, c = Länge, l = Breite und a = Höhe.

Volumen berechnen Schritt 8
Volumen berechnen Schritt 8

Schritt 3. Ermitteln Sie den Längenwert

Die Länge ist die längste Seite der unteren rechteckigen Fläche des Prismas. Der Wert kann in der Abbildung angegeben werden oder Sie müssen ihn messen, um ihn zu finden.

  • Beispiel: Wenn die Länge eines rechteckigen Prismas 4 cm beträgt, dann ist c = 4 cm.
  • Machen Sie sich keine Sorgen darüber, welche Seite die Länge, welche die Breite usw. ist. Solange Sie drei verschiedene Seiten messen, ist das Ergebnis unabhängig von der Anordnung der Begriffe gleich.
Volumen berechnen Schritt 9
Volumen berechnen Schritt 9

Schritt 4. Finden Sie den Breitenwert

Die Breite eines rechteckigen Prismas ist die kürzeste Seite der unteren rechteckigen Fläche des Prismas. Auch hier wird entweder der Wert in der Abbildung angegeben oder Sie müssen ihn messen, um dies herauszufinden.

  • Beispiel: Wenn die Breite eines Prismas 3 Zentimeter beträgt, dann ist l = 4 cm.
  • Wenn Sie das rechteckige Prisma mit einem Lineal oder Maßband messen, denken Sie daran, alle Messungen in derselben Einheit aufzuzeichnen. Messen Sie eine Seite nicht in Zentimetern und die andere in Zoll; alle Maße müssen in der gleichen Einheit angegeben werden!
Volumen berechnen Schritt 10
Volumen berechnen Schritt 10

Schritt 5. Ermitteln Sie den Höhenwert

Höhe ist der Abstand von der Oberfläche oder der unteren rechteckigen Fläche bis zur Spitze des Prismas. Suchen Sie diese Informationen in der Abbildung oder messen Sie sie selbst.

Beispiel: Wenn die Höhe des rechteckigen Prismas 6 cm beträgt, dann ist a = 6 cm

Volumen berechnen Schritt 11
Volumen berechnen Schritt 11

Schritt 6. Setzen Sie die Abmessungen des rechteckigen Prismas in die Formel ein und berechnen Sie das Volumen

Denken Sie daran, dass V = c * l * a. Multiplizieren Sie Länge, Breite und Höhe. Sie können sie in beliebiger Reihenfolge multiplizieren, das Ergebnis ist das gleiche.

In unserem Beispiel ist c = 4, l = 3 und a = 6. Daher ist V = 4 * 3 * 6, was 72 entspricht

Volumen berechnen Schritt 12
Volumen berechnen Schritt 12

Schritt 7. Schreiben Sie die Antwort in Kubikeinheiten auf

Da in unserem Beispiel die Maße in Zentimetern angegeben wurden, sollte das Volumen als 72 Kubikzentimeter oder 72 cm. ausgedrückt werden3.

Wenn die Maße wären: Länge = 2 m, Breite = 4 m und Höhe = 8 m, wäre das Volumen 2 m * 4 m * 8 m, was 64 m² entspricht3.

Methode 3 von 6: Berechnung des Volumens eines Zylinders

Volumen berechnen Schritt 13
Volumen berechnen Schritt 13

Schritt 1. Lernen Sie, einen Zylinder zu identifizieren

Ein Zylinder besteht aus zwei parallelen kreisförmigen Grundflächen und einer sie verbindenden geschlossenen, gewölbten Seitenfläche.

Eine Dose und ein Stapel sind gute Beispiele für Zylinder

Volumen berechnen Schritt 14
Volumen berechnen Schritt 14

Schritt 2. Merken Sie sich die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders

Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, müssen Sie seine Höhe und den Radius seiner kreisförmigen Grundfläche (den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu seinem Rand) kennen. Die Formel lautet V = πr2h, wobei V das Volumen darstellt, r den Radius der kreisförmigen Grundfläche darstellt, h die Höhe darstellt und π der Wert der Konstanten pi ist.

  • Bei einigen Geometrieproblemen muss die Antwort in Form von π angegeben werden, aber meistens müssen Sie es durch den Wert 3, 14 ersetzen. Fragen Sie Ihren Lehrer, welchen Weg er bevorzugt.
  • Die Formel zum Ermitteln des Volumens eines Zylinders ist der Formel für das Volumen eines rechteckigen Prismas sehr ähnlich: Sie multiplizieren einfach die Höhe der Form mit der Oberfläche ihrer Basis. Für das rechteckige Prisma war diese Fläche durch c * l gegeben, während sie für den Zylinder πr2, die die Fläche eines Kreises mit Radius r darstellt.
Volumen berechnen Schritt 15
Volumen berechnen Schritt 15

Schritt 3. Finden Sie den Radius der Basis

Wenn der Radius im Bild angegeben ist, verwenden Sie ihn einfach. Wird statt des Radius der Durchmesser angegeben, dividiere den Wert durch 2, um das Radiusmaß (d = 2r) zu erhalten.

Volumen berechnen Schritt 16
Volumen berechnen Schritt 16

Schritt 4. Messen Sie den Radius des Objekts, wenn er nicht angegeben ist

Denken Sie daran, dass eine genaue Messung eines kreisförmigen Volumenkörpers etwas schwierig sein kann. Eine Möglichkeit besteht darin, die obere Basis des Zylinders mit einem Lineal oder Maßband zu messen. Messen Sie die Breite des Zylinders an seiner breitesten Stelle und teilen Sie das gefundene Maß durch 2, um den Radius zu erhalten.

  • Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Umfang des Zylinders mit einem Maßband zu messen. Sobald dies erledigt ist, ersetzen Sie das in der Formel gefundene Maß: C (Umfang) = 2πr. Teilen Sie den Wert des Kreises durch 2π (6, 28) und Sie erhalten den Radius.
  • Wenn Sie beispielsweise einen Umfang von 8 Zentimetern gefunden haben, wäre Ihr Radius 1,27 cm.
  • Wenn eine wirklich genaue Messung erforderlich ist, verwenden Sie beide Methoden, um sicherzustellen, dass die Messungen gleich sind. Wenn nicht, messen Sie erneut. Die Kreismethode liefert normalerweise genauere Ergebnisse.
Volumen berechnen Schritt 17
Volumen berechnen Schritt 17

Schritt 5. Berechnen Sie die Fläche der kreisförmigen Basis

Setze den Radius des Basiswertes in die Formel ein A = πr2. Multiplizieren Sie einfach den Radiuswert mit sich selbst und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit π. Zum Beispiel:

  • Wenn der Radius des Kreises 4 Zentimeter beträgt, beträgt die Grundfläche A = π42.
  • 42 = 4 * 4 = 16. 16 * π (3, 14) = 50, 24 cm2
  • Wenn statt des Radius der Basisdurchmesser angegeben wird, denken Sie daran, dass d = 2r ist. Teilen Sie einfach den Durchmesser durch zwei, um den Radius zu ermitteln.
Volumen berechnen Schritt 18
Volumen berechnen Schritt 18

Schritt 6. Finden Sie den Höhenwert

Die Höhe eines Zylinders ist einfach der Abstand zwischen den beiden kreisförmigen Basen oder der Abstand zwischen der Oberfläche, auf der sich das Objekt befindet, und seiner Oberseite. Wenn das Maß nicht in der Abbildung angegeben ist, messen Sie es mit einem Lineal oder Maßband.

Volumen berechnen Schritt 19
Volumen berechnen Schritt 19

Schritt 7. Multiplizieren Sie die Grundfläche mit der Höhe, um das Volumen zu ermitteln

Oder Sie können die Werte der Zylinderabmessungen direkt in die Formel V = πr. einsetzen2H. Für unser Beispiel, bei dem der Zylinder einen Radius von 4 cm und eine Höhe von 10 cm hat, haben wir:

  • V = π4210
  • 42 = 50, 24
  • 50, 24 * 10 = 502, 4
  • V = 502, 4
Volumen berechnen Schritt 20
Volumen berechnen Schritt 20

Schritt 8. Denken Sie daran, die Antwort in Kubikeinheiten anzugeben

In unserem Beispiel wurden die Maße in Zentimetern angegeben, daher sollte das Volumen in Kubikzentimetern angegeben werden: 502, 4 cm3. Wenn der Zylinder in Zoll gemessen würde, würde das Volumen in Kubikzoll (in3).

Methode 4 von 6: Berechnung des Volumens einer regelmäßigen Pyramide

Volumen berechnen Schritt 21
Volumen berechnen Schritt 21

Schritt 1. Verstehen Sie, was eine regelmäßige Pyramide ist

Eine Pyramide ist eine dreidimensionale Form mit einem Polygon als Grundfläche und Seitenflächen, die sich in einem einzigen Punkt treffen. Eine regelmäßige Pyramide ist eine Pyramide, deren Grundpolygon regelmäßig ist, was bedeutet, dass alle Seiten und Winkel das gleiche Maß haben.

  • Normalerweise stellen wir uns eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche und dreieckigen Seiten vor, die sich in einem gemeinsamen Punkt treffen, jedoch kann die Grundfläche einer Pyramide 5, 6 oder sogar 100 Seiten haben!
  • Eine Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche wird als Kegel bezeichnet, der in der nächsten Methode behandelt wird.
Volumen berechnen Schritt 22
Volumen berechnen Schritt 22

Schritt 2. Lernen Sie die Formel zur Berechnung des Volumens einer regelmäßigen Pyramide

Die Formel lautet V = 1/3bh, wobei b die Fläche der Basis der Pyramide und h die Höhe ist.

Die Volumenformel ist für gerade Pyramiden (bei denen sich die Spitze über der Mitte der Basis befindet) und schrägen Pyramiden (bei denen die Spitze nicht zentriert ist) gleich

Volumen berechnen Schritt 23
Volumen berechnen Schritt 23

Schritt 3. Berechnen Sie die Grundfläche

Die Formel hängt von der Anzahl der Seiten ab, die die Basis der Pyramide hat. Betrachten Sie eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, deren Seiten 6 cm lang sind. Denken Sie daran, dass die Formel für die Fläche des Quadrats A = s. ist2, wobei s das Maß der Seiten ist. Die Grundfläche beträgt also (6 cm)2 = 36 cm2.

  • Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet: A = 1/2bh, wobei b die Basis des Dreiecks und h die Höhe ist.
  • Sie können die Fläche jedes regelmäßigen Polygons mit der Formel A = 1/2pa finden, wobei A die Fläche ist, p der Umfang der Form ist und a das Apothema ist - der Abstand von der Mitte des Polygons zum Mittelpunkt einer seiner Seiten. Dies ist eine etwas komplexere Berechnung, die den Rahmen dieses Artikels sprengt. Wer sich die Berechnung erleichtern möchte, findet in diesem Artikel tolle Tipps.
Volumen berechnen Schritt 24
Volumen berechnen Schritt 24

Schritt 4. Finden Sie die Höhe

In den meisten Fällen wird die Höhe in der Abbildung angegeben. Nehmen Sie an, die Pyramide sei 10 cm hoch.

Volumen berechnen Schritt 25
Volumen berechnen Schritt 25

Schritt 5. Multiplizieren Sie die Grundfläche mit der Höhe und teilen Sie das Ergebnis durch 3, um das Volumen zu ermitteln

Denken Sie daran, dass die Formel für das Volumen V = 1/3bh ist. In unserem Beispiel hat die Basis eine Fläche von 36 und eine Höhe von 10, das Volumen ist also: 36 * 10 * 1/3 = 120.

Wenn die Pyramide eine fünfeckige Grundfläche mit einer Fläche von 26 und einer Höhe von 8 hätte, wäre das Volumen: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33

Volumen berechnen Schritt 26
Volumen berechnen Schritt 26

Schritt 6. Vergessen Sie nicht, die Antwort in Kubikeinheiten auszudrücken

Da die Maße in unserem Beispiel in Zentimetern angegeben wurden, sollte das Volumen in Kubikzentimetern (120 cm3). Bei Maßangaben in Metern ist das Volumen in Kubikmetern (m3).

Methode 5 von 6: Berechnung des Volumens eines Kegels

Volumen berechnen Schritt 27
Volumen berechnen Schritt 27

Schritt 1. Lernen Sie die Eigenschaften eines Kegels

Ein Kegel ist ein dreidimensionaler Körper mit einer kreisförmigen Basis und einem einzelnen Scheitelpunkt (der Kegelspitze). Eine andere Betrachtungsweise ist eine Pyramide mit kreisförmiger Grundfläche.

Wenn die Spitze des Kegels direkt über der Mitte der kreisförmigen Basis liegt, sagen wir, dass der Kegel "gerade" ist. Liegt der Scheitelpunkt nicht direkt über dem Mittelpunkt, wird er als schräg bezeichnet

Volumen berechnen Schritt 28
Volumen berechnen Schritt 28

Schritt 2. Kennen Sie die Formel zum Bestimmen des Volumens eines Kegels

Die Formel lautet V = 1/3πr2h, wobei r den Radius der kreisförmigen Grundfläche darstellt, h die Höhe darstellt und π die Konstante pi ist, die auf 3, 14 gerundet werden kann.

Der Begriff πr2 bezieht sich auf die Fläche der kreisförmigen Basis des Kegels. Daher ist die Formel für das Volumen des Kegels die gleiche wie das Volumen der Pyramide, die in der vorherigen Methode abgedeckt wurde!

Volumen berechnen Schritt 29
Volumen berechnen Schritt 29

Schritt 3. Berechnen Sie die Fläche der kreisförmigen Basis

Dazu müssen Sie den Radius der Basis kennen, der in die Abbildung geschrieben werden soll. Wenn der Durchmesser angegeben ist, teilen Sie den Wert einfach durch 2, da der Durchmesser dem doppelten Radius entspricht (d = 2r). Setzen Sie dann den Radius in die Formel A = πr. ein2 um die Fläche zu berechnen.

  • Betrachten Sie den Radius als 3 Zentimeter. Setzen wir diesen Wert in die Formel ein, erhalten wir: A = π32.
  • 32 = 3 * 3 = 9. Daher ist A = 9π.
  • H = 28,27 cm2.
Volumen berechnen Schritt 30
Volumen berechnen Schritt 30

Schritt 4. Finden Sie die Höhe

Die Höhe eines Kegels ist der vertikale Abstand zwischen der Basis und dem Scheitelpunkt. Betrachten Sie die Höhe des Kegels als 5 Zentimeter.

Volumen berechnen Schritt 31
Volumen berechnen Schritt 31

Schritt 5. Multiplizieren Sie die Grundfläche mit der Höhe

In unserem Beispiel hat der Kegel eine Grundfläche von 28,27 cm2 und Höhe von 5cm. Daher bh = 28, 27 * 5 = 141, 35.

Volumen berechnen Schritt 32
Volumen berechnen Schritt 32

Schritt 6. Multiplizieren Sie nun das Ergebnis mit 1/3 (oder teilen Sie es einfach durch 3), um das Volumen des Kegels zu ermitteln

Im vorherigen Schritt haben wir das Volumen des Zylinders berechnet, das sich bilden würde, wenn sich die Kegelwände auf einen anderen Kreis erstrecken würden. Wenn wir diesen Wert durch 3 teilen, erhalten wir das Volumen des Kegels.

  • In unserem Beispiel 141, 35 * 1/3 = 47, 12.
  • Ansonsten 1/3π325 = 47, 12.
Volumen berechnen Schritt 33
Volumen berechnen Schritt 33

Schritt 7. Geben Sie die Antwort in Kubikeinheiten an

Unser Kegel wurde in Zentimetern gemessen, daher sollte sein Volumen in Kubikzentimetern ausgedrückt werden: 47, 12 cm3.

Methode 6 von 6: Berechnung des Volumens einer Kugel

Volumen berechnen Schritt 34
Volumen berechnen Schritt 34

Schritt 1. Erkennen Sie eine Kugel

Die Kugel ist eine perfekt runde dreidimensionale Form, bei der jeder Punkt auf ihrer Oberfläche den gleichen Abstand vom Mittelpunkt hat. Mit anderen Worten, eine Kugel ist ein kugelförmiges Objekt.

Volumen berechnen Schritt 35
Volumen berechnen Schritt 35

Schritt 2. Schreiben Sie die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel auf

Die Formel lautet V = 4/3πr3 (sprich: vier Drittel von pi r gewürfelt), wobei r der Radius der Kugel und π die Konstante pi (3, 14) ist.

Volumen berechnen Schritt 36
Volumen berechnen Schritt 36

Schritt 3. Finden Sie den Radius der Kugel

Wenn der Radius in der Abbildung angegeben ist, verwenden Sie ihn einfach. Wenn der Durchmesser angegeben ist, teilen Sie die Zahl einfach durch 2, um den Radius zu ermitteln. Betrachten Sie als Beispiel einen Radius von 3 cm.

Volumen berechnen Schritt 37
Volumen berechnen Schritt 37

Schritt 4. Messen Sie den Radius, wenn er nicht angegeben ist

Wenn Sie ein kugelförmiges Objekt (z. B. einen Tennisball) messen müssen, um seinen Radius zu bestimmen, suchen Sie zuerst ein Band, das lang genug ist, um es zu umschlingen. Wickeln Sie dann das Klebeband an der breitesten Stelle um das Objekt und markieren Sie die Stelle, an der das Klebeband sich selbst überlappt. Teilen Sie diesen Wert durch 2π oder 6, 28 und Sie erhalten das Maß für den Radius der Kugel.

  • Wenn Sie beispielsweise einen Ball messen und feststellen, dass sein Umfang 18 Zentimeter beträgt, teilen Sie diese Zahl durch 6,28 und Sie haben den Radius von 2,87 cm.
  • Das Messen eines kugelförmigen Objekts kann schwierig sein. Versuchen Sie daher, 3 Messungen durchzuführen und den Durchschnitt der gefundenen Werte zu verwenden (summieren Sie sie und dividieren Sie sie durch 3), um sicherzustellen, dass Sie ein möglichst genaues Ergebnis erhalten.
  • Wenn die drei gefundenen Maße beispielsweise 18 cm, 17, 75 cm und 18, 2 cm sind, würden Sie diese Werte (18 + 17,5 + 18, 2 = 53, 95) addieren und durch 3 teilen (53, 95/3 = 17, 98). Verwenden Sie den erhaltenen Durchschnitt in Ihren Berechnungen.
Volumen berechnen Schritt 38
Volumen berechnen Schritt 38

Schritt 5. Würfeln Sie den Radiuswert, um r. zu finden3.

Einfach dreimal mit sich selbst multiplizieren, d. h. r3 = r * r * r. In unserem Beispiel beträgt der Radius 3 cm, also r3 = 3 * 3 * 3 = 27.

Volumen berechnen Schritt 39
Volumen berechnen Schritt 39

Schritt 6. Multiplizieren Sie die Antwort mit 4/3

Sie können entweder Ihren Taschenrechner verwenden oder von Hand rechnen. In unserem Beispiel multiplizieren wir 27 mit 4/3 und erhalten 108/3, was 36 entspricht.

Berechnen Volumenschritt 40
Berechnen Volumenschritt 40

Schritt 7. Multiplizieren Sie die Antwort mit π, um das Volumen der Kugel zu ermitteln

Das Runden des Wertes von π auf zwei Dezimalstellen reicht für die meisten mathematischen Aufgaben aus (es sei denn, Ihr Lehrer fordert Sie anders auf), also multiplizieren Sie den Wert aus dem vorherigen Schritt mit 3, 14 und Sie erhalten das Volumen der Kugel.

In unserem Beispiel 36 * 3, 14 = 113, 09

Volumen berechnen Schritt 41
Volumen berechnen Schritt 41

Schritt 8. Geben Sie die Antwort in Kubikeinheiten an

Da die Maße in unserem Beispiel in Zentimetern angegeben wurden, sollte die Antwort V = 113,09 Kubikzentimeter (113,09 cm.) lauten3).

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